diskuse k typologii

Za předpokladu, že žák příliš nepreferuje metodu pokus-omyl, tak souhlasím, že se bude snažit jít cestou nejmenšího odporu, tudíž bude řešit příklad, který bude pro něj nejjednodušší, a tedy i nejrychlejší. Za tohoto předpokladu by si dle mého názoru žák vybral úlohu a). Kdyby žáka úloha zaujala a líbilo se mu pracovat v tomto prostředí, tak si myslím, že by si vybral úlohu b), kde by měl hledat více řešení.

a) Tato úloha není nijak složitá. Je zde třeba projít co nejvíce čísel a snažit se nevynechat ty, které mají vysokou hodnotou. Pak se pouze stačí soustředit na to, aby se žák vyhnul uzavřené křižovatce.

b) Myslím, že úloha nebude u všech příliš oblíbená vzhledem k více možnostem řešení. Celé řešení je zdlouhavé a žáka nemusí dostatečně bavit. Záleží ale nejspíš na preferencích. 

c) Tato úloha nemá řešení, což si myslím, že by mohlo být pro žáka demotivující kvůli tomu, že zadání tuto možnost nenabízí. Žák by tak dle mého zkoušel různé způsoby, až by ho to přestalo bavit. Pokud by si tedy neuvědomil skutečnost, že není možné dorazit do cíle s lichým počtem silničních úseků, kvůli tvaru šestiúhelníku. Kdyby to bylo žákovi jasné, tak by měl hned hotovo.

Zadání by také mohlo znít: Je možné vyznačit cestu poskládanou od vjezdu do cíle z lichého počtu silničních úseků? Ano, zakresli ji. Ne, vysvětli.  

d) V této úloze se vyžaduje pouze 10 silničních úseků, proto žák nepotřebuje celou síť, ale pouze její část. Vyřešení by mu tak nemělo trvat dlouho.

Opravdu talentovaného více řešení téměř ve 100 % baví.

To se dle mých zkušeností projevuje již u pětiletých.

Pokud je někdo jen dobrý počtář, pak nemá rád více řešení, již proto, že nejde odpovědět ihned a mít to za sebou. Podobně reagují i děti závislé na počítačích/ tabletech, které mají pocit (často je  nich podporován), že dobrý matematik odpovídá RYCHLE, což zde nejde.

Výchovným cílem (jedním z mnoha) v matematice je odnaučit žáka odpovídat co nejrychleji, ale naučit ho zamyslet se, zvážit všechny možnosti.

ÚLohy pro nadprůměrné nejsou nutně pro všechny. Někdy je tak dávám z diagnostických důvodů; neobjevený talent zapomene, že ho dosud za dobrého nepovažoval, a vyřeší:-)). To se mi stalo jako hostující učitelce v praxi mnohokrát.

Podle mě to, že úloha obsahuje více zadání k jednomu obrázku, dává dítěti možnost tento obrázek pořádně prozkoumat a přijít na zákonitosti, které v něm platí. Navíc se jedná o netypické prostředí. Obojí by mohlo přispět k tomu, že by nadprůměrného žáka úloha zaujala a snažil by se jí vyřešit.

Podle toho, že nadprůměrné žáky většinou baví úlohy s více řešeními, by možná nadprůměrný žák neřešil zadání postupně od a) do d), ale vybral by si první to zábavné, kde se přímo úloha ptá na více řešení, tedy b) a d). I to, že je úloha b) označena jako obtížnější, by mohlo být pro nadprůměrného žáka větší motivací a zároveň je v ní zahrnuto i řešení a).

b) nejspíš by zde začal od nejdelší možné cesty (čímž by zároveň získal řešení za a)). Tu by hledal jako kombinaci co nejvíce zadaných čísel, tedy cestu co nejvíce možnými křižovatkami. Asi by rovnou vynechal čísla 9, 7, 2, 4 v zadní části, protože zde je jasné, že se nemá kudy vrátit vzhledem k uzavřené křižovatce. Po nalezení nejdelší cesty by asi následovalo postupné zkracování v některých úsecích tak, aby byl výsledek vyšší než 85. Možná by po nalezení nejdelší hledal postupně cesty s hodnotami 97, 96, 95 (tu by nenašel, tak by asi pokračoval dál na 94). Ale to vyžaduje systematičnost a nevím, jestli nadprůměrní žáci pracují takto systematicky, nebo spíše vhledem vidí cesty mezi 98 a 85 a zapisují je v pořadí, ve kterém je najdou a ne postupně.

Druhou variantou by mohlo být najít cestu s hodnotou 86 a poté postupně cestu prodlužovat až po nejdelší. To je možná jednodušší.

d) zde nejsou tak důležitá čísla jako samotné cesty. Žák by tedy nejspíš našel cestu, která má 10 spojnic a zasahuje co nejvíce dozadu je to možné a pak by hledal další cesty, které jsou už v menším vytyčeném poli, protože nadprůměrný žák by nejspíše vhledem zjistil, že cesta, která zasahuje dál, už bude mít více než 10 úseků.

c) pokud se dřív rozhodne řešit úlohu d), možná už tam zjistí, že všechny nalezené cesty jsou ze sudého počtu úseků. Jinak by ale k řešení došel tak, jako už psal Jaromír, přes to, že se jedná o šestiúhelníky.

Souhlasím s Jaromírem, že by nadprůměrný žák při řešení těchto úloh ihned "odřízl" slepé silnice, které nemůže do řešení započítávat.

Mně osobně přišla nejjednodušší úloha d), protože bylo zadané, z kolika úseků se cesta musí skládat. Nevím jestli by nadprůměrný žák také začal od úlohy, která by se mu zdála nejjednodušší a nebo by prostě začal od a), pak by šel na b), c), d).

Já jsem po d) šla na a), ale trvalo mi hodně dlouho, než jsem našla cestu s nejvyšší hodnotou, ale nejsem nadprůměrný žák, který by do úlohy měl určitě vhled (já to řešila metodou pokusů, která je opravdu zdlouhavá, ikdyž jsem věděla, že musím jít po těch vyšších číslech).

Pak jsem šla na úlohu c), kde jsem hned po chvilce objevila, že cesta z lichých úseků v této mapě neexistuje (vstup by musel být na sousední 3 nebo by musel být východ na jedné ze sousedních dvojek) - myslím si, že nadprůměrný žák by tuhle úlohu měl také hned hotovou, protože si to určitě dovede představit lépe než já.

Úlohu b) jsem si nechala na konec, protože mi bylo jasné, že se jedná o náročnější kombinatorickou úlohu, když nejvyšší hodnota je 98 z úlohy a), tak jsem předpokládala, že budu muset ověřit všechny hodnoty od 85 do 98, abych si byla jistá svým výsledkem. Třeba by nadprůměrný žák použil také tento postup, ale možná by objevil nějaký rychlejší.

V příloze přikládám svá řešení:

- možná jsem se přepočítala, jak jsem to počítala několikrát, ale aby mi u a) vyšlo 98, tak jsem tam tu konečnou 1 musela započítat i podruhé, co jsem přes ní přejela X ale u d) aby mi vyšla hodnota 21, tak už jsem tam tu konečnou 1 podruhém projetí nezapočetla

- u úlohy b) mi vyšlo také 11 možností, ale s hodnotami= 98, 97, 95, 94, 93, 92, 91, 91, 88, 87, 85), domnívám se, že v řešení byla v úplně tom pravém šestiúhelníku (3, 2, 1, 1, 2, 1 východ) místo té druhé 1 použita 2, takže z toho byl šestiúhelník (3, 2, 1, 2, 2, 1 východ), který ale neodpovídá zadání

Jak už tu bylo několikrát psáno, myslím, že nadaný žák velmi rychle vytuší, které cesty nepůjde v rámci řešení využít. A další postup u a) a b) bude mechanické zkoušení variant, které budou fungovat, tedy za předpokladu maximalizace součtu projitých křižovatek. 

U c) si myslím, že brzo objeví strukturu šestiúhelníků a nutnosti vždy projít sudý počet cest. Zajímalo by mě však, jak je to u nadprůměrných a ocenění úlohy, která nemá řešení. Mě osobně totiž tyto úlohy v mládí velmi iritovaly a po jejich vyřešení jsem necítila uspokojení z vyřešení. Jsou v tom nadprůměrní stejní jako ostatní? Nebo je pro ně i žádné řešení dobré řešení?

d) bude pravděpodobně nejlehčí úloha, obzvlášť, pokud budou už mít vyřešené předchozí úlohy. Velmi brzy dojdou děti k poznání, že využijí jen kousek ze sítě a variant řešení bude málo a nebude je obtížné najít.

Podle mého názoru by žák při prvním pohledu nepřemýšlel nad tím, která úloha je jednoduchá, a která naopak složitá. Při řešení by postupoval systematicky, tudíž od a do d. 

a)  Nadprůměrný žák by dle mého názoru hledal cesty s nejvyšší číselnou hodnotou. Vzal by také v úvahu délku cest – čím delší cesta, tím vyšší hodnota. Pokud budeme koukat pouze na čísla, k cestě s nejvyšší hodnotou se nedostaneme. 

b) Zde by volil podobnou strategii jako u úkolu a. Myslím si, že by tato úloha žáka příliš nenadchla, jelikož je její zpracování zdlouhavé. Pro některé žáky by mohl být tento fakt demotivující. 

c) Tento úkol nelze splnit. Vzdálenost od vstupní křižovatky po výstupní je 4 pole – tzn. sudé číslo. Nadaný žák by vzal v úvahu fakt, že se může pohybovat pouze po šestiúhelnících. Žáka by neřešitelnost tohoto úkolu mohla zmást, jelikož v zadání není tato možnost uvedena. 

d) Při řešení tohoto úkolu musíme zohlednit okolí – nesmíme zajíždět moc daleko, jelikož máme omezený počet silničních úseků (10). Úloha tedy obsahuje více řešení. Mnoho nadprůměrných žáků ocení, že může u úlohy najít více řešení. 

Z mého pohledu záleží také na tom, jak je žák zvyklý pracovat. Pokud je zvyklý pracovat systematicky, začne u úlohy a) a postupně se propracuje až k úloze d). Pokud je zvyklý, že si nejdříve vybere úlohu, která se mu zdá nejlehčí, mohl by začít u úlohy d), kde má jasně daný počet silničních úseků, se kterými musí pracovat. A pokud je zvyklý pracovat od úlohy, která je pro něj největší výzvou, mohl by si dle mého názoru vybrat úlohu b). kde musí nejen počítat celkovou hodnotu daných cest a najít všechna řešení, ale zároveň si kontrolovat a porovnávat již vzniklé řešení s těmi, které právě dokončí, aby neměl stejná.

Myslím si, že nejméně lákavým je pro nadprůměrné žáky zaznamenávání řešení úlohy, ať už se jedná o jakoukoliv úroveň složitosti dané úlohy. Dle mého názoru by si žák také rychle uvědomil, se kterými úseky silnice může v dané úloze pracovat a kterými se nemusí zabývat, protože ze zadání bude vyplývat, že je použít nemůže.

Úloha a): Dle mého názoru by žák ihned pochopil, že pokud chce dosáhnout co nejvyšší hodnoty musí použít při řešení co nejvíce čísel a pokusit se zapojit ty s nejvyššími hodnotami.

Úloha b): Jak jsem již zmiňovala na začátku svého komentáře, tato úloha je zajímavá, ale mohla by žáka odradit tím, že bude muset zaznamenávat všechna svá řešení a pak je ještě kontrolovat, aby neměl stejná.

Úloha c): Je zajímavá v tom, že zde hraje roli i kritérium lichosti. Myslím si však, že vzhledem k tomu, že tato úloha nemá řešení, mohl by být při jejím řešení žák zklamaný, že se snažil zbytečně a stala by se tak spíše demotivující. Myslím, že v tomto případě by žák zkoušel metodu pokus-omyl, dokud by ho to nepřestalo bavit. Záleží ovšem na tom, zda by žák měl dostatečný vhled do úlohy a uvědomil si, že nemůže dorazit do cíle s lichým počtem silničních úseků, pokud má šestiúhelníkovou síť.

Úloha d): U úlohy d) si žák jistě hned uvědomí, že pokud má použít pouze 10 silničních úseků, nebude potřebovat celou síť. Tím by mu řešení této úlohy nemělo dělat větší potíže a měl by ji zvládnout vyřešit poměrně rychle i přesto, že má úloha více řešení.

Souhlasím s výše popsaným názorem, že pořadí úloh si žák určí podle toho, jak je zvyklý pracovat. Pokud systematicky, tak půjde od a do d. Pokud je zvyklý si nejdříve zadání přečíst a až pak si podle nejzajímavějšího vybrat, začal by podle mě u b, a to díky slovu -obtížnější- v závorce. Podle přečtených článků mají nadprůměrní žáci rádi výzvy, což tohle jistě představuje.