Potřeba interakcí samozřejmě může nastat i v případě GLM (a v příští úloze, která bude na log-lineární model pro kontingenční tabulky i nastane). Stejně jako v lineárním modelu beta_i,j modifikuje "směrnici" beta_i (udávající vliv x_i) v závislosti na x_j, resp. i naopak, beta_i,j modifikuje "směrnici" beta_j (udávající vliv x_j) v závislosti na x_i. Konkrétně, když bych vzal logistickou regresi s prediktorem beta_0 + beta_1 *X + beta_2 *Z + beta_12 * X*Z, kde X a Z jsou spojité, tak
exp(beta_1) = odds ratio (OR), pokud srovnávám skupinu s X=(x + 1) a skupinu s X=x, kde však v obou Z není cokoliv, ale Z = 0, v dalším exp(beta_1) = OR_x(Z = 0)
exp(beta_2) = odds ratio (OR), pokud srovnávám skupinu s Z=(z + 1) a skupinu s Z=z, kde však v obou X není cokoliv, ale X = 0, v dalším exp(beta_2) = OR_z(X = 0)
a teď to hlavní (zkuste si rozmyslet, proč tak):
exp(beta_1 + beta_12*z) = odds ratio (OR), pokud srovnávám skupinu s X=(x + 1) a skupinu s X=x, kde však v obou Z není cokoliv, ale Z= z, tj. při značení výše
exp(beta_1 + beta_12*z) = OR_x(Z = z), odsud pak exp(beta12*z) = OR_x(Z =z)/OR_x(Z=0)
PODOBNĚ TÉŽ
exp(beta_2 + beta_12*x) = odds ratio (OR), pokud srovnávám skupinu s Z=(z + 1) a skupinu s Z=z, kde však v obou X není cokoliv, ale X= x, tj. při značení výše
exp(beta_2 + beta_12*x) = OR_z(X = x), odsud pak exp(beta12*x) = OR_z(X =x)/OR_z(X=0)
Z toho je též vidět, že
exp(beta_12) = OR_x(Z =(z+1))/OR_x(Z=z) = OR_z(X =(x+1))/OR_z(X=x), tj. exp(beta_12) udává (multiplikativní) změnu v odds ratio pro vliv X (resp. Z), když se Z (resp. X) změní o jednotku.
Pokud je X a/nebo Z kategoriální, parametrizované přes "referenční skupinu" (dummy proměnné), potom u výše uvedeného "změna o jednotku" odpovídá "změně skupiny".
K interpretaci koeficientů (včetně interakčních) v rámci log-lineárního modelu s kontingenční tabulkou ještě napíšu v rámci zadání dalšího problému.