Neměl by někdo prosím příklad posloupnosti kladných čísel {a_k}, která by nebyla nerostoucí, její limita pro k -> ∞ by se rovnala 0, a přitom řada \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_k by nekonvergovala ?
Snažím se rozmýšlet předpoklady Leibnitzova kritéria.
NAVOD: Zkuste hledat posloupnost, ktera bude v lichych clenech konvergovat k nule, tak pomalu, ze soucet techto clenu da nekonecne, zatimco v sudych clenech bude posloupnost konvergovat k nule velice rychle.
Mohla by to být posloupnost {a_k}, jejíž 2n+1 člen se rovná 1/(n+1) a její 2n-tý člen se rovná 1/(n*n). (n z N).
{a_k}=(1, 1, 1/2, 1/4, 1/3, 1/9, 1/4, 1/16, 1/5, 1/25, ...)
sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k = 1 - 1 + 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/9 + 1/4 - 1/16 + 1/5 - 1/25 + 1/6 - 1/36 + 1/7 - 1/49 ...
Vidíme harmonickou řadu, která diverguje, od které jen odečítáme číslo z (0,+∞).