Za pomocí separace proměnných byste měli být po páteční přednášce schopni celkem jednoduše napsat řešení obdélníkové nekonečně hluboké pravoúhlé potenciálové jámy. Co když ale jáma bude kruhová? (Taková 2D varianta částice, která se "nesmí" vzdálit od počátku více než je nějaká pevně daná vzdálenost, ale jinak na ní nic nepůsobí).
Nelze použít řešení z obdélníkové jámy, protože teď máme jinou okrajovou podmínku. Ta teď zní, že vlnová funkce pro vzdálenosti rovné nebo větší než pevně zadané R musí být nulová. => V kartézkých souřadnicích poměrně komplikovaně vyjádřitelné. Nabízejí se ale polární souřadnice.
Po troše hledání či středně dlouhém počítání najdete, že laplace v polárních souřadnicích je
\( \triangle = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2 } \)
Tak co? Hamiltonián sice nemá takový tvar, jako jsme uvažovali na přednášce, ale co kdyby - zkuste uvažovat prostorovou část vlnové funkce jako součin dvou členů \(\psi(r, \vartheta) = R(r)Y(\vartheta) \), každý závisí jen na jedné souřadnici. Rozpadne se problém na dvě rovnice? Poznáváte jednu z nich? Už jsme ji řešili před několika týdny. I ta druhá má fyzikálně přijatelná řešení jen pro určité hodnoty E.
I pokud se vám nechtělo počítat, tak zkuste alespoň určit kvantová čísla radiální \(R(r) \) i úhlové \( Y(\vartheta) \) složky pro vlnové funkce na obrázcích hustoty provděpodobnosti. Využijte počítání "kopečků". Kvantové číslo = určuje o kolikáté řešení dané rovnice se jedná.
PS: Můžete to řešit i pomocí apletu. Pokud chcete, abych rozuměla, připište postup/zdůvodnění, ze tří dvojic čísel toho mnoho nepoznám. ;-) Použvá se více možností, jak stavy očíslovat.
