Topic outline

  • Romance teorie množin

    Vznik teorie množin a její použití v kontextu matematiky z konce 19. století. Přečte te si příslušnou kapitolu z knihy Balcara a Štěpánka (BS), Romance matematické analýzy a teorič množin, strana 11. Soustřeďte se na důkaz nespočetnosti realných čísel (strana 13).

    Přikládám následující literaturu:

    1) Celá kniha Balcara a Štěpánka (BS).

    2) Populární úvod do teorie množin a důkazů nezávislosti (který jsem napsal na doktorátu). Obsahuje komentované axiomy ZFC, zavádí základní pojmy (velikost, axiom výběru, dobré uspořádání, ordinální a kardinální čísla), a také obšírně pojednává o axiomu konstruovatelnosti (V = L) a forcingu. Neobsahuje příliš důkazů, snaží se soustředit na základní myšlenky.

    3) Skripta k teorii množin z předchozích let. Doporučuji jimi listovat a srovnávat s knihou BS, abyste získali informace z více zdrojů.

  • Axiomy teorie množin ZFC

    Axiomatizace teorie množin v predikátové logice prvního řádu je dnes standardním způsobem axiomatizace teorie množin. V této podobě vytváří teorie množin univerzální jazyk matematiky. Přijímané axiomy teorie množin z převážné většiny formuloval E. Zermelo začátkem 20. století při důkazu, že Princip dobrého uspořádání je ekvivalentní Axiomu výběru. Více informací v Kapitole I, par. 2 knihy (BS). Je třeba znát přesné znění všech axiomů a rozumět jejich významu.

    Volitelně si můžete také seznámit s rozlišením množiny a třídy, viz Kapitola I, par. 3 (BS).

    • Relace a zobrazení

      Základní vlastnosti relací a zobrazení podle Kapitoly I, par. 4 v knize (BS).

      • Vlastnosti relací, uspořádání

        Většinu téhoto tématu budete znát z Úvodu do matematiky. Je třeba znát alespoň:

        * Z Kap. I, par 5, části 5.1 - 5.14.

        • Srovnávání velikostí množin

          Je třeba nastudovat tyto části (Kapitola I, par. 5, BS):

          * 5.42 - 5.47 (zde jsme skončili předtím, než se zavřela škola)

          * Domácí úkol na 25.3.: Věta Cantor-Bernstein, 5.48, až do 5.52. Prosím přečíst, při Zoom schůzce se o tom budeme bavit.

          * Domácí úkol na 1.4.: připravte si části 5.51-5.53 z knihy (BS).

          * Domácí úkol na 8.4.: připravte si tyto paragrafy z knihy (BS): 6.32-6.40). Je to téma již částečně známé z Úvodu do matematiky.

          * Domácí úkol na 15.4.: připravte si tyto paragrafy z knihy (BS): 6.41-6.47). 

          • Axiom výběru

            Jako přípravu pro diskuzi Axiomu výběru si přečtěte část BS o dobrém uspořádání: konkrétně 5.27 až do Věty 5.31 včetně. Dále si přečtěte úvodní část k Axiomu výběru, kapitoly 7.1-7.7 včetně.

            Na hodinu 29.4. si připravte úvod kapitoly 7 (Axiom výběru) až k odstavci 7.8. včetně. Jedná se o následující témata: definice selektoru, ekvivalence axiomu výběru, principu výběru, uniformizace relace, neprázdnost kartézského souboru neprázdných množin. Příklady: lim funkce v bodě, sjednocení spočetně mnoha spočetných množin je spočetná množina.

            Na hodinu 6.5. si připravte zbytek kapitoly 7 o Axiomu výběru. Soustřeďte se na tyto odstavce a věty: 7.9 - 7.14 (princip maximality, trichotomie relace porovnávání velikosti), odstavec 7.15(a), body 7.15(b)-(d) jen znění (důkazy volitelně). Věta 7.22 (PM implikuje WO) včetně důkazu, Věta 7.23, jen že WO implikuje AC. V této kapitole BS dokazují také, že AC implikuje PM, a tedy plyne, že PM, AC, WO jsou ekvivalentní. My ukážeme, že AC implikuje PM až později pomocí transfinitní rekurze a ordinálních čísel.

            • Úvod do ordinálních a kardinálních čísel

              V posledním týdnu semestru (tj. 20.5.) nebude žádná hodina přes Zoom. Navrhuji se sejit v týdnu 25.5-29.5. nebo až 1.6.-5.6. na osobní konzultaci, kde bychom si něco řekli o ordinálních a kardinálních číslech. Přesný čas domluvíme. Aby byla konzultace smyslplná, bylo by třeba, abyste dopředu nastudovali tyto části v knize BS:

              Ordinální čísla (Kapitola II, paragraph 1,2)

              • Definice ordinálních čísel: 1.1-1.9.
              • Typy ordinálních čísel: Definice 1.15.
              • Věta 1.19, která říká, že ke každé dobře uspořádané množině existuje právě jedno ordinální číslo s ní izomorfní.
              • Věta o trasfinitní rekurzi 2.3.

              Kardinální čísla (Kapitola II, paragraph 4)

              • Definice a text 4.1-4.9.
              • Věta 4.10, alespoň znění