Uvod do matematiky
Osnova sekce
-
V kurzu se seznámíte se základy matematiky, tak jak ji budete potřebovat v dalších kurzech na katedře logiky. Účelem je také získat obecné matematické znalosti, které by měl mít každý univerzitně vzdělaný člověk. Seznámíme se se základy teorie množin, číselnými obory, se základními algebraickými pojmy (grupa, okruh, těleso) a analytickými pojmy (nekonečná posloupnost, konvergence, limita).
Kurz má tříhodinovou přednášku (doc. Radek Honzík) a k ní dvouhodinové cvičení (Adam Furstenzeller, ak. rok 2025-26). Níže budou uváděna probraná témata v přednáškách i cvičeních.
-
Ke kurzu jsou k dispozici skripta.
- Stručná verze ve formě prezentace.
- Podrobná skripta (datovaná z roku 2018)
Ve skriptech najdete více informací a také kontext. Co se bude zkoušet bude upřesněno podle toho, co projdeme.
-
Přednášky:
- Důkaz iracionality odmocniny ze dvou, úvod do teorie množin (jazyk, axiom extenzionality, dvojice, potence)
- Úvod do teorie množin: základní operace a axiomy: Sekce 1.1. Soustřeďte se hlavně na pochopení definice 1.3 (přirozená čísla) a Větu o indukci (Theorem 1.6).
- Některá další fakta o teorii množin. Zásadní je pojem relace a také funkce, viz strany 8-9 skript.
- Definice 1.9 a příklady (Examples) na straně 10-11.
- Pojem velikosti v teorii množin: Cantorova věta 1.11.
- Axiomatický přístup, sekce 1.2 (strana 12). Jen pro rychlou orientaci (sekce 1.2.1 a 1.2.2).
- Příklad komplikovanější věty z "finitární" matematiky, tj. týkající se přirozených čísel. Ramseyova věta o grafech 1.16 (je třeba zná i definice potřebné k této větě, např. definice grafu).
- Grupy. Základní definice je v sekci 2.1. Budeme dokazovat Lagrangeovu větu 2.9. K důkazu věty si ukážeme několik pomocných tvrzení a definuje pomocné pojmy, které jsou důležité samy o sobě. Např. pojem podgrupy (sekce 2.2.1), korespondence mezi rozklady a ekvivalencemi (sekce 2.2.2)
- Pojem kongruence (sekce 2.3.1) jsme jen prolétli. Zájemci si mohou si mohou sekci 2.3 přečíst, aby porozuměli tomu, jak lze grupu Z(n) popsat jako faktor grupu Z podle podgrupy Z_n, tj. Z(n) je isomorfní faktor grupě (quotient group) Z/Z_n.
- Okruhy. (24.11.2025)
- Racionální čísla jako příklad tělesa.
- Lineární uspořádání na racionálních číslech, věta 4.10.
- Analytické vlastnosti racionálních čísel - posloupnosti a limity, Definice 5.2, Lemma 5.3(i)--(iii), Definice 5.5, Lemma 5.6.
Seminář:
- 30. 9. 2025 (Seminář 1) – Důkazy a Množiny Základy matematických důkazů: přímý důkaz, důkaz sporem (např. iracionalita odmocniny) a obměna. Úvod do teorie množin: základní značení (∈,⊆), operace s množinami (sjednocení, průnik, rozdíl) a potenční množina.
- 7.10. 2025 (Seminář 2) – Relace Binární relace a jejich vlastnosti na množině: reflexivita, symetrie, tranzitivita, antisymetrie (slabá/silná). Základy skládání relací a definice inverzní relace.
- 14. 10. 2025 (Seminář 3) – Zobrazení (Funkce) Definice zobrazení, definiční obor a obor hodnot. Typy zobrazení: injektivní (prosté), surjektivní (na) a bijektivní (vzájemně jednoznačné). Počítání počtu možných zobrazení mezi konečnými množinami.
- 21. 10. 2025 (Seminář 4) – Ekvivalence a Uspořádání Opakování zobrazení. Hlavním tématem byly speciální typy relací: ekvivalence (reflexivní, symetrická, tranzitivní) a definice tříd ekvivalence (rozklad množiny/faktorová množina). Zavedení částečného uspořádání.
- 3. 11. 2025 (Seminář 5) – Grupy Definice grupy (G,∗,′,e) a její axiomy: asociativita, existence neutrálního prvku a inverzního prvku. Rozdíl mezi obecnou a komutativní (Abelovskou) grupou. Příklady grup (číselné obory, permutační grupy, Zn)
- 3. 11. 2025 (Seminář 6) – Řád a Homomorfismy Lagrangeova věta a definice řádu grupy (počet prvků) a řádu prvku. Úvod do homomorfismů grup (zobrazení zachovávající strukturu) a definice jádra a obrazu homomorfismu.
- 25. 11. 2025 (Seminář 7) – Okruhy: Definice okruhu (R,+,−,0,⋅,1) a jeho vlastnosti (distributivita). Pojem obor integrity (okruh bez dělitelů nuly) a charakteristika okruhu. Definice ideálu v okruhu.
-
Níže je seznam kapitol ze skript, které je potřeba znát ke zkoušce. Ostatní části skript zkoušet nebudu, ale je dobré je pročíst, protože se vám tím mohou některé věci dát do lepšího kontextu. Očekávám, že budete znát všechny definice, věty a lemmata v uvedených kapitolách. Soustřeďte se na symbolický zápis matematických definic a tvrzení, tak jak je to uvedeno ve skriptech.
Naučte se látku v těchto kapitolách (včetně znění a důkazů vět a lemmat v těchto kapitolách - hlavně těch, které jsou explicitně jmenovány v probírané látce).
- Kapitoly 1.1, 1.3
- Kapitoly 2.1, 2.2
- Kapitola 3.1
- Kapitoly 4.1, 4.2, 4.3, 4.4
- Kapitoly 5.1, 5.3
- Kapitoly 6.1, 6.2, 6.3, jen základní přehled bez důkazů