Osnova týdnů

  • Úvodní informace

    Sbalit vše Rozbalit vše

    V kurzu se seznámíte se základy matematiky, tak jak ji budete potřebovat v dalších kurzech na katedře logiky. Účelem je také získat obecné matematické znalosti, které by měl mít každý univerzitně vzdělaný člověk. Seznámíme se se základy teorie množin, číselnými obory, se základními algebraickými pojmy (grupa, okruh, těleso) a analytickými pojmy (nekonečná posloupnost, konvergence, limita).

    Kurz má tříhodinovou přednášku (doc. Radek Honzík) a k ní dvouhodinové cvičení (Klára Karasová). Níže budou uváděna probraná témata v přednáškách i cvičeních.

  • Doporučená literatura

    Ke kurzu jsou k dispozici skripta.

    • Stručná verze ve formě prezentace.
    • Podrobná skripta (datovaná z roku 2018)

    Ve skriptech najdete více informací a také kontext. Co se bude zkoušet bude upřesněno podle toho, co projdeme.

  • Probraná témata (rok 2023-2024)

    (Bude doplňováno podle probraných témat při hodině a také při cvičení.)

    • (Přednáška 2.10.) Úvodní přednáška. Důkaz iracionality odmocniny ze 2 jako příklad struktury tvrzení a důkazu v matematice. Seznámení s některými axiomy teorie množin.
    • (Cvičení 3.10.) Organizační záležitosti. Schéma axiomů vydělení. Prázdná množina a její vlastnosti. Axiom potence.
    • (Přednáška 9.10.) Axiomy teorie množin, konstrukce přirozených čísel.
    • (Cvičení 10.10.) Kartézský součin; relace a jejich vlastnosti, příklady
    • (Přednáška 16.10.) Porovnávání velikosti nekonečných množin (definice a několik příkladů). Cantorova věta, že množina X je ostře menší než P(X). Příklad konečné kombinatoriky: formulace a důkaz Ramseyho věty o homogenních množinách na grafech.
    • (Cvičení 17.10.) Relace a jejich vlastnosti: relace ekvivalence, uspořádání.
    • (Přednáška 23.10.) Základní vlastnosti uspořádání, axiomatizace pojmu uspořádání (částečné uspořádání, lineární uspořádání, min. a max. prvky). Axiomatizace grup a jejich základní vlastnosti.
    • (Cvičení 24.10.): Opakování - řešení HW 1. Relace a operace s nimi, skládání relací. Zachovávání vlastností.
    • (Přednáška 30.10.) Lagrangeova věta (řád podgrupy dělí řád grupy), pojem ekvivalence a rozkladu na množině.
    • (Cvičení 31.10.): Opakování - řešení HW 2. Domain a range relace. Funkce.
    • (Přednáška 6.11): Okruhy, tělesa a jejich vlastnosti.
    • (Cvičení 7.11.): Množiny a jejich zápis. Výroky.
    • (Přednáška 13.11) (hodina se nekonala, Týden humanitních věd)
    • (Cvičení 14.11.) (seminář zrušen - týden humanitních věd)
    • (Přednáška 20.11) Pojem uspořádání, Věta: Každé husté spočetné lineární uspořádání bez koncových bodů je izomorfní uspořádání racionálních čísel.
    • (Cvičení 21.11.) Opakování - řešení HW 3.
    • (Přednáška 27.11) Samostatná práce: Pojem limity a posloupnosti, sekce 5.1 a 5.2 ve skriptech.
    • (Cvičení 28.11.) Opakování - řešení HW 5. Funkce; funkce prosté, na a bijekce.
    • (Cvičení 5.12.) Funkce: prosté, na a bijekce. Limity posloupností: omezenost konvergentní posloupnosti. Další tvrzení o konvergentních posloupnostech bez důkazu (aritmetrika limit, součin nulové a omezené posloupnosti).
    • (Cvičení 12.12.) Cauchyovskost. Dvě ekvivalentní definice a jedna slabší podmínka, cauchyovskost konvergentní posloupnosti a omezenost cauchyovké posloupnosti, příklady.
    • (Cvičení 19.12.) Uspořádání: suprema a infima. Vlastnosti, příklady. Věty o limitách posloupností.
    • (Cvičení 26.12.) Seminář zrušen - vánoční prázdniny.

  • Co se zkouší

    Níže je seznam kapitol ze skript, které je potřeba znát ke zkoušce. Ostatní části skript zkoušet nebudu, ale je dobré je pročíst, protože se vám tím mohou některé věci dát do lepšího kontextu. Očekávám, že budete znát všechny definice, věty a lemmata v uvedených kapitolách. Soustřeďte se na symbolický zápis matematických definic a tvrzení, tak jak je to uvedeno ve skriptech.

    • Kapitoly 1.1, 1.3
    • Kapitoly 2.1, 2.2
    • Kapitola 3.1
    • Kapitoly 4.1, 4.2, 4.3, 4.4
    • Kapitoly 5.1, 5.2, 5.3
    • Kapitoly 6.1, 6.2