Probraná témata, ak. rok 2025-26 (bude průběžně doplňováno)

Přednášky: 

• Důkaz iracionality odmocniny ze dvou, úvod do teorie množin (jazyk, axiom extenzionality, dvojice, potence)
• Úvod do teorie množin: základní operace a axiomy: Sekce 1.1. Soustřeďte se hlavně na pochopení definice 1.3 (přirozená čísla) a Větu o indukci (Theorem 1.6).
• Některá další fakta o teorii množin. Zásadní je pojem relace a také funkce, viz strany 8-9 skript.
• Definice 1.9 a příklady (Examples) na straně 10-11.
• Pojem velikosti v teorii množin: Cantorova věta 1.11.
• Axiomatický přístup, sekce 1.2 (strana 12). Jen pro rychlou orientaci (sekce 1.2.1 a 1.2.2).
• Příklad komplikovanější věty z "finitární" matematiky, tj. týkající se přirozených čísel. Ramseyova věta o grafech 1.16 (je třeba zná i definice potřebné k této větě, např. definice grafu).
• Grupy. Základní definice je v sekci 2.1. Budeme dokazovat Lagrangeovu větu 2.9. K důkazu věty si ukážeme několik pomocných tvrzení a definuje pomocné pojmy, které jsou důležité samy o sobě. Např. pojem podgrupy (sekce 2.2.1), korespondence mezi rozklady a ekvivalencemi (sekce 2.2.2)
• Pojem kongruence (sekce 2.3.1) jsme jen prolétli. Zájemci si mohou si mohou sekci 2.3 přečíst, aby porozuměli tomu, jak lze grupu Z(n) popsat jako faktor grupu Z podle podgrupy Z_n, tj. Z(n) je isomorfní faktor grupě (quotient group) Z/Z_n.
• Okruhy. (24.11.2025)
• Racionální čísla jako příklad tělesa.
• Lineární uspořádání na racionálních číslech, věta 4.10.
• Analytické vlastnosti racionálních čísel - posloupnosti a limity, Definice 5.2, Lemma 5.3(i)--(iii), Definice 5.5, Lemma 5.6.

Seminář:

• 30. 9. 2025 (Seminář 1) – Důkazy a Množiny Základy matematických důkazů: přímý důkaz, důkaz sporem (např. iracionalita odmocniny) a obměna. Úvod do teorie množin: základní značení (∈,⊆), operace s množinami (sjednocení, průnik, rozdíl) a potenční množina.
• 7.10. 2025 (Seminář 2) – Relace Binární relace a jejich vlastnosti na množině: reflexivita, symetrie, tranzitivita, antisymetrie (slabá/silná). Základy skládání relací a definice inverzní relace.
• 14. 10. 2025 (Seminář 3) – Zobrazení (Funkce) Definice zobrazení, definiční obor a obor hodnot. Typy zobrazení: injektivní (prosté), surjektivní (na) a bijektivní (vzájemně jednoznačné). Počítání počtu možných zobrazení mezi konečnými množinami.
• 21. 10. 2025 (Seminář 4) – Ekvivalence a Uspořádání Opakování zobrazení. Hlavním tématem byly speciální typy relací: ekvivalence (reflexivní, symetrická, tranzitivní) a definice tříd ekvivalence (rozklad množiny/faktorová množina). Zavedení částečného uspořádání.
• 3. 11. 2025 (Seminář 5) – Grupy Definice grupy (G,∗,′,e) a její axiomy: asociativita, existence neutrálního prvku a inverzního prvku. Rozdíl mezi obecnou a komutativní (Abelovskou) grupou. Příklady grup (číselné obory, permutační grupy, Zn​)
• 3. 11. 2025 (Seminář 6) – Řád a Homomorfismy Lagrangeova věta a definice řádu grupy (počet prvků) a řádu prvku. Úvod do homomorfismů grup (zobrazení zachovávající strukturu) a definice jádra a obrazu homomorfismu.
• 25. 11. 2025 (Seminář 7) – Okruhy: Definice okruhu (R,+,−,0,⋅,1) a jeho vlastnosti (distributivita). Pojem obor integrity (okruh bez dělitelů nuly) a charakteristika okruhu. Definice ideálu v okruhu.