---
title: "5. cvičení"
output:
  pdf_document: default
  html_notebook: default
---

# Ilustrace k cvičení z úterý 30.3.2021

## 1) Newton-Pepy's problem:

Pro $k=1$ několik stejně dobrých způsobů výpočtu. (Z výukových důvodů, 
při řešení problému, co vás zajímá, stačí samozřejmě jenom jeden postup.)

```{r}
1-pbinom(0,6,1/6) 
1-dbinom(0,6,1/6)
1-(5/6)^6
```

Pro $k=2$ už je vidět, že postup pomocí distribuční funkce má výhody:

```{r}
1-pbinom(1,12,1/6)
1-dbinom(0,12,1/6)-dbinom(1,12,1/6)
1-(5/6)^12 - 12*(1/6)*(5/6)^11
```

Pro $k=2$:
```{r}
1-pbinom(2,18,1/6)
```

A pro ukázku pro hodně velké $k$: 
```{r}
1-pbinom(30000-1,180000,1/6)
```

## 2 De Mereho problém: 

Opět několika způsoby. Tentokrát je přímý výpočet (první formulka) nejjednodušší. Ty další dám ale pomůžou si uvědomit, co ty binomické a geometrické proměnné jsou zač.

```{r}
1-(5/6)^4
1 - pbinom(0,4,1/6)
pgeom(3,1/6)  ## Pozor, R počítá geom. rozdělení od 0!!
```

```{r}
1-(35/36)^24
1 - pbinom(0,24,1/36)
pgeom(23,1/36)
```
## 4 Součet Poissonů

Tohle sice není důkaz, ale pro někoho to může být i přesvědčivější: nasamplujeme 
jednak součet Poissonů s parametry 4 a 7 a pak Poissona s parametrem 11. 
Opticky histogramy vypadají stejně. 
(Jak poznat spolehlivěji, zda nasamplované rozdělení odpovídá nějakému vzorci 
budeme rozebírat v druhé části přednášky.)

```{r}
N = 10^6
Xsamples = rpois(N,4)
Ysamples = rpois(N,7)
Zsamples = rpois(N,11)

hist(Xsamples+Ysamples)
hist(Zsamples)
```