---
title: "cvic11"
output:
  pdf_document: default
  html_notebook: default
---

# Příklad 1 -- test
# 1(a) 
Zkusíme nasamplovat -- jen jedna otázka se třemi volbami. 

```{r}

n = 10^4
p = 0.5

umi = rbinom(n, 1, p)  # umi je vektor 0/1
spravne = umi + (1-umi)*rbinom(n,1,1/3)  # taky 0/1 (jestli je odp. spravne) 

sum(umi*spravne)/sum(spravne) # sample podmíněné pravděpodobnosti
```

# 1(c)
Celý test s deseti otázkami. 
Nasamplujeme distribuci otázek co umí, pokud odpověděl správně 6. 
Nakreslíme do grafu spolu se spočteným vzorcem.

```{r}

n = 10^4
p = 0.5

# nejprve jednotlivé otázky, jako v 1(a)
umi = rbinom(10*n, 1, p)    
spravne = umi + (1-umi)*rbinom(10*n,1,1/3)

# teď posčítáme jednotlivé desítky
celk_spravne = tapply(spravne, (seq_along(spravne)-1) %/% 10, sum)
celk_umi = tapply(umi, (seq_along(umi)-1) %/% 10, sum)

# a teď vytáhneme, kolik otázek uměl student, co odpověděl správně 6 otázek
k = 0:6
umi6 = rep(0,7)  

for (i in k) {
#  print(i)  
  umi6[i+1] = (sum(celk_umi == i & celk_spravne == 6)/sum(celk_spravne == 6))
}

plot(k,umi6, col='blue')
points(k, dbinom(k,6,3/4), col='red')
```

## 1(b,c) -- Rozdíl apriori & aposteriori.

I když se to nezdá, tak 6 správných je podprůměrná odpověď, proto se náš odhad, kolik student uměl, sníží oproti stavu před testem.

```{r}
k=0:10

plot(k, dbinom(k,6,3/4)+.0, col='red')
points(k, dbinom(k,10,1/2), col='blue')
```
# Příklad 2 -- hodně testů
## (2a)

Použijeme MAP pravidlo pro rozhodnutí. 

```{r}
pp <- function(p) { p + (1-p)/3 }

k = 0:10

A = dbinom(k,10,pp(0.3))
B = dbinom(k,10,pp(0.7))
C = dbinom(k,10,pp(0.95))

#A (typ 0.3) je nejpravděpodobnější pro hodnoty:
k[A>B & A>C]
#B (typ 0.7) je nejpravděpodobnější pro hodnoty:
k[B>A & B>C]
#C (typ 0.95) je nejpravděpodobnější pro hodnoty:
k[C>A & C>B]

```
## (2b)

MAP pravidlo -- najdeme max. ve vektoru pu

podm. stř. -- spočítáme podm. střední hodnotu
```{r}
l = 0:5


db = function(p) { dbinom(l,5,p/(1/3+(2/3)*p)) }

pu = (db(0.3)+db(0.7)+db(0.95))/3
pu; sum(pu)

#MAP pravidlo:
l[pu == max(pu)]

#podm. střední hodnota
sum(pu*l)
```

# Příklad 3

Zkusíme nasamplovat pravidlo: pokud vytáhnu bílý míček, odpovím první krabička. 
Kódování míčku: 1 = bílá, 2 = černá
Kódování krabiček: 1, 2
Pro p>1/3 je MAP-pravidlo pro náš tip na krabičku barva míčku. 

```{r}

n = 10^4
chyb = 0
p = 0.5
for (i in 1:n){
  krab = ifelse(runif(1)<p,1,2)
  if (krab==1) {
    micek = sample(c(1,1,2),1)
  } else {
    micek = sample(c(1,2,2),1)
  }

  if (micek != krab) {
    chyb = chyb + 1
  }
}
print(chyb/n)
```