Zadání otázky:
Představte si, že částice se spinem 1 prolétá magnetem jako ve Stern-Gerlachově experimentu natočeným do osy z. Může dojít až ke třem různým výsledkům, tj. svazek částic se může rozštěpit až na tři svazky. Představte si, že do dalšího magnetu pustíte jen ty částice, u kterých jste naměřili průmět \(+\hbar\) do osy z.
Následující magnet je natočen do osy x. Jak se mi tento svazek rozštěpí?
Uvažujte i ostatní možnosti, jaké částice pustíte do druhého magnetu.
Teorie k otázce:
Touto otázkou se tak trochu vrátíme tématicky k otázce z diskuze ke 4. týdnu "Lze přejít od vlnových funkcí k vektorům?". Může být užitečné si ji projít.
Jestliže tedy máme částici se spinem 1, můžeme tento spin popsat pomocí matic
\( L_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \)
\( L_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{array} \right) \)
\( L_z = \hbar \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \)
\( L^2 = 2 \hbar^2 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \)
Vlastními vektory matice \(L_z \) jsou vektory
\(m=1 \quad Y_{1\,1} =\psi_1 = (-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}) \sin{\theta}\, e^{i\varphi} \equiv \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \equiv |z,1> \)
\( m=0 \quad Y_{1\,0} = \psi_0 = (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}) \cos{\theta} \equiv \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \equiv |z,0> \)
\( m=-1 \quad Y_{1\,-1} =\psi_{-1} = (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}) \sin{\theta}\, e^{-i\varphi} \equiv \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \equiv |z,-1> \)
Vlastní vektory matice \(L_x \) jsou
\(m=1 \quad |x,1> \equiv \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \\ \end{array} \right) \)
\(m=0 \quad |x,0> \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \)
\(m=-1 \quad |x,-1> \equiv \frac{1}{2} \left( \begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1 \\ \end{array} \right) \)
Vaším úkolem by teď mohlo být ověřit, že vše, co je napsáno výše je pravda (měli byste být schopni toto vše odvodit) a také ukázat, že platí vše, co jsme si odvodili pro moment hybnosti (tvar \(L^2\), komutační relace, kolmost vlastních vektorů, působení operáttorů v maticovém tvaru odpovídá působení operátorů v diferenciálním tvaru, ...). Ale toto vše je úkol dobrovolný, ale ocením, pokud něco z toho uděláte.
Odměna za to, že jste dočetli až sem:
Vše si můžete zobrazit pomocí apletu
https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/simulations_html5/sims/spin1/spin1.html
Přecvakněte se z Intruduction na Controls. Úkolem je tedy spíše přijít na postup, než napsat výsledky.