Pokud bychom hledali vlastní funkce operátoru \( \hat{L}^2 \) vyjádřeného ve sférických souřadnicích, zjistíme, že se jedná o tzv. kulové funkce či sférické harmoniky (dva názvy pro totéž). Jejich tabulku najdete třeba zde: https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics . Klidně si zkuste nějakou z těchto funkcí vzít, zapůsobit na ní operátorem \( \hat{L}^2 \) vyjádřeným ve sférických souřadnicích a ověřit si, že se jedná o vlastní funkci.
Uvažujme ale situaci, kdy vyšetřuji systém, o kterém vím, že se bude nacházet pouze ve stavech, které budou kombinovat jen tyto funkce:
\( Y_{1,-1}(\theta, \varphi) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}} \sin \theta\ e^{-i\varphi} \)
\( Y_{1,0}(\theta, \varphi) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}} \cos \theta\ \)
\( Y_{1,1}(\theta, \varphi) = -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}} \sin \theta\ e^{i\varphi} \)
a chci si ulečit práci. Přeci jenom s vektory a maticemi by se mi pracovalo lépe než s goniometrickými funkcemi a derivacemi. Zeptala jsem se na možnost přepisu celého problému do vektorů a matic třech kolegů:
Xaver: "Přejít k maticím můžeš, ale protože ten přechod není úplně jednoznačný, záleží například na tom, jak si zvolíš bázi a jakým způsobem si vyjádříš operátory, tak můžeš dostat odlišné konkrétní výsledky."
Ygor: "Funkce tvoří vektorový (lineární) prostor stejně jako vektory a platí v něm stejné vztahy. Takže pokud máš jistotu, že ti stačí báze těchto tří funkcí, tak si ji označ jako kanonickou bázi. Místo operátorů budeš mít matice 3x3, ale jde o to, zda je lze zvolit tak, aby fungovaly stejně jako diferenciální operátory, tj. aby pokud zobrazíš funkci pomocí zvolené báze na vektor, potom zapůsobíš maticí na vektor a výsledný vektor přeložíš zase na funkci, tak abys dostala totéž, jako když zapůsobíš operátorem s derivacema."
Zoltán: "Ygor má na rozdíl od Xavera pravdu, ten přechod se dá udělat tak, že bude dávat stejné výsledky. Pokud si dám pozor a vše vyjádřím v jedné konkrétní bázi, a ani nemusí být kanonická. Ale na druhou stranu takto vyjádřím jen operátor velikosti momentu hybnosti. Ostatní operátory takto vyjádřit nepůjdou a pokud je budu chtít používat, musím zůstat u funkcí."
Co vy na to? Mohu ten přechod udělat, nebo ne? Případně s jakými omezeními.